Question

【題目】已知二次函數y=ax2+bx+3的圖象分別與x軸交于點A（3，0），C（-1，0），與y軸交于點B．點D為二次函數圖象的頂點．

（1）如圖①所示，求此二次函數的關系式：

（2）如圖②所示，在x軸上取一動點P（m，0），且1＜m＜3，過點P作x軸的垂線分別交二次函數圖象、線段AD，AB于點Q、F，E，求證：EF=EP；

（3）在圖①中，若R為y軸上的一個動點，連接AR，則BR+AR的最小值______（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據A，C點的坐標，利用待定系數法可求出二次函數的關系式；

（2）利用待定系數法求出線段AB，AD所在直線的函數關系式，用m表示EF，EP的長，可證得結論；

（3）連接BC，過點R作RQ⊥BC，垂足為Q，則△BQR∽△AOB，利用相似三角形的性質可得出RQ=BR，結合點到直線之間垂直線段最短可得出當A，R，Q共線且垂直AB時，即AR+BR=AQ時，其值最小，由∠ACQ=∠BCO，∠BOC=∠AQC可得出△CQA∽△COB，利用相似三角形的性質可求出AQ的值，此題得解．

解：（1）將A（3，0），C（-1，0）代入y=ax2+bx+3，得：

，解得： ，

∴此二次函數的關系式為y=-x2+2x+3．

（2）證明：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴點D的坐標為（1，4）．

設線段AB所在直線的函數關系式為y=kx+c（k≠0），

將A（3，0），C（0，3）代入y=kx+c，得：

，解得：，

∴線段AB所在直線的函數關系式為y=-x+3．

同理，可得出：線段AD所在直線的函數關系式為y=-2x+6．

∵點P的坐標為（m，0），

∴點E的坐標為（m，-m+3），點F的坐標為（m，-2m+6），

∴EP=-m+3，EF=-m+3，

∴EF=EP．

（3）如圖③，連接BC，過點R作RQ⊥BC，垂足為Q．

∵OC=1，OB=3，

∴BC=．(勾股定理)

∵∠CBO=∠CBO，∠BOC=∠BQR=90°，

∴△BQR∽△AOB，

∴ ,即,

∴RQ=BR，

∴AR+BR=AR+RQ，

∴當A，R，Q共線且垂直AB時，即AR+BR=AQ時，其值最小．

∵∠ACQ=∠BCO，∠BOC=∠AQC，

∴△CQA∽△COB，

∴,即

∴AQ=，

∴BR+CR的最小值為．

故答案為：．