Question

23、如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AE=CE，以點E為圓心EA長為半徑作弧交AB于點D，連接DE，過點D作DF⊥DE交BC于點F，連接CD．
求證：（1）CD⊥AB；（2）CF=FB．

Answer 1

分析：（1）由于AE=ED，CE=CD，那么∠EAD=∠EDA，∠ECD=∠EDC，因此根據三角形內角和定理可得出2（∠A+∠ACD）=180°，因此AC⊥CD．（方法2：由于EA=ED=EC，所以圓E必過C點，那么AC就是圓E的直徑，根據圓周角定理即可得出AD⊥CD）．
（2）由于（1）中已經證得CD⊥AD，那么∠A+∠ACD=∠A+∠EDC=90°，而∠CDF+∠EDC=90°，因此∠A=∠CDF，同理可得∠A=∠FCD，因此∠A=∠FCD=∠FDC，那么同理可根據同角的余角相等分別得出∠CFD=∠DFC，∠BDF=∠BFD，那么即可得出CF=DF=BF．

解答：證明：（1）∵AE=ED，CE=AE=ED，
∴∠A=∠EDA，∠EDC=∠ECD．
∵∠A+∠ECD+∠ADC=180°，
即∠A+∠ECD+∠EDC+∠EDA=180°，
∴2（∠A+∠ECD）=180°．
∴∠A+∠ECD=90°．
∴∠ADC=180°-（∠A+∠ECD）=180°-90°=90°．
∴CD⊥AB．

（2）∵∠FDB+∠ADE=90°，∠A=∠ADE，
∴∠A+∠FDB=90°．
∵∠A+∠B=90°，
∴∠FDB=∠B，
∴FD=FB．
∵∠EDC+∠FDC=90°，∠FCD+∠ECD=90°，
∵∠EDC=∠ECD，∴∠FDC=∠FCD．
∴CF=FD．
∴CF=FB．

點評：本題主要考查了等腰三角形與直角三角形的性質，根據角與角之間的關系來求解是解本題的基本思路．