Question

【題目】（請在括號里注明重要的推理依據）

如圖，已知AM∥BN，∠A=60°．點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點C，D．

（1）求∠CBD的度數；

（2）當點P運動時，∠APB與∠ADB之間的數量關系是否隨之發生變化？若不變化，請寫出它們之間的關系，并說明理由；若變化，請寫出變化規律．

（3）當點P運動到使∠ACB=∠ABD時，∠ABC的度數是　　．

Answer 1

【答案】（1）∠CBD=60°；（2）不變化，∠APB=2∠ADB，證明見解析；（3）∠ABC=30°.

【解析】
試題分析：（1）由平行線的性質可求得∠ABN，再根據角平分線的定義和整體思想可求得∠CBD；
（2）由平行線的性質可得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，再由角平分線的定義可求得結論；
（3）由平行線的性質可得到∠ACB=∠CBN=60°+∠DBN，結合條件可得到∠DBN=∠ABC，且∠ABC+∠DBN=60°，可求得∠ABC的度數．

試題解析： （1）∵AM∥BN，

∴∠A+∠ABN=180°，（兩直線平行，同旁內角互補）

∵∠A=60°

∴∠ABN=120°

∵BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，

∴∠CBP=∠ABP, ∠DBP=∠NBP,

∴∠CBD=∠ABN=60°

（2）不變化，∠APB=2∠ADB

證明∴ ∵AM∥BN，

∴∠APB=∠PBN （兩直線平行，內錯角相等）

∠ADB=∠DBN （兩直線平行，內錯角相等）

又∵BD平分∠PBN，

∴∠PBN =2∠DBN

∴∠APB=2∠ADB

（3）∠ABC=30°