Question

【題目】如圖，AB是△ABC外接圓⊙O的直徑，D是AB延長線上一點，且BD= AB，∠A=30°，CE⊥AB于E，過C的直徑交⊙O于點F，連接CD、BF、EF．

（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求：tan∠BFE的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵∠A=30°，

∴BC= ，

∵OB= ，BD= ，

∴BC=OB=BD，

∴BC= ，

∴OC⊥CD，

∵OC是半徑，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：過點E作EH⊥BF于H，

設EH=a，

∵CF是⊙O直徑，

∴∠CBF=90°=∠ACB，

∴∠CBF+∠ACB=180°，

∴AC∥BF，

∴∠ABF=∠A=30°，

∴BH= EH=a ，BE=2EH=2a，

∵CE⊥AB于E，

∴∠A+∠ABC=90°=∠ECB+∠ABC，

∴∠ECB=∠A=30°，

∴BC=2BE=4a，

∵∠BFC=∠A=30°，∠CBF=90°，

∴BF= =4a ，

∴FH=BF﹣BH=4a ﹣a =3a ，

∴tan∠BFE= = = ．

【解析】（1）根據已知條件證得OC⊥CD，再有切線的判定即可得到CD是⊙O的切線；
（2）過點E作EH⊥BF于H，設EH=a，利用角之間的關系可得到AC∥BF，從而得到BH和BE的長，進而可得到BF的長，此時可求得FH的長，即可求得所求結答案．