Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB=，E是AD邊上的一點(點E與點A和點D不重合)，BE的垂直平分線交AB于點M，交DC于點N.

(1)證明：MN = BE.

(2)設AE=，四邊形ADNM的面積為S，寫出S關于的函數關系式.

(3)當AE為何值時，四邊形ADNM的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）S=-x2+x+2；（3）當AE =1時，四邊形ADNM的面積S的值最大，最大值是．

【解析】

（1）作輔助線ME、MN，由SAS證明△EBA≌△MNF，從而得證；

（2）連接ME，構造出直角三角形△AME，在Rt△AME中，AE=x，ME=MB=2-AM，可得（2-AM）2=x2+AM2，解得AM，由（1）△EBA≌△MNF，可得EA=MF，由此DN=AF=AM+MF=AM+AE，即可求得四邊形ADNM的面積為-x2+x+2；

（3）根據（2）的答案，利用二次函數的最值問題即可求出．

（1）設MN交BE于P，根據題意，得MN⊥BE，

過N作AB的垂線交AB于F，

在Rt△AEB和Rt△MNF中，

∠MBP+∠BMN=90°，∠FNM+∠BMN=90°，

∴∠MBP=∠MNF，

又AB=FN，

∴Rt△EBA≌Rt△MNF，故MN=BE；

（2）連接ME，

根據題意，得MB=ME，

在Rt△AME中，AE=x，ME=MB=2-AM，

∴（2-AM）2=x2+AM2，

解得AM=1-x2，

由（1）△EBA≌△MNF，

∴EA=MF，

∴DN=AF=AM+MF=AM+AE，

∴四邊形ADNM的面積S=×AD=×2=2AM+AE=2（1-x2）+x=-x2+x+2，

即所求關系式為S=-x2+x+2；

（3）s=-x2+x+2=-（x2-2x+1）+=-（x-1）2+，

故當AE=x=1時，四邊形ADNM的面積S的值最大，最大值是．