Question

【題目】數學活動課上，某學習小組對有一內角為120°的平行四邊形ABCD（∠BAD=120°）進行探究：將一塊含60°的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內旋轉，且60°角的頂點始終與點C重合，較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段AB，AD于點E，F（不包括線段的端點）．

（1）初步嘗試

如圖1，若AD=AB，求證：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；

（2）類比發現

如圖2，若AD=2AB，過點C作CH⊥AD于點H，求證：AE=2FH；

（3）深入探究

如圖3，若AD=3AB，探究得：的值為常數t，則t=____．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）①先證明△ABC，△ACD都是等邊三角形，再證明∠BCE=∠ACF即可解決問題．②根據①的結論得到BE=AF，由此即可證明．（2）設DH=x，由由題意，CD=2x，CH=x，由△ACE∽△HCF，得

由此即可證明；（3）如圖3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM與AD交于點H．先證明△CFN∽△CEM，得，由ABCM=ADCN，AD=3AB，推出CM=3CN，所以，設CN=a，FN=b，則CM=3a，EM=3b，想辦法求出AC，AE+3AF即可解決問題．

解：（1）①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD=120°，

∴∠D=∠B=60°， ∵AD=AB，

∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，

∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC，

∵∠ECF=60°，

∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°， ∴∠BCE=∠ACF，

在△BCE和△ACF中，

∴△BCE≌△ACF．

②∵△BCE≌△ACF，

∴BE=AF，

∴AE+AF=AE+BE=AB=AC．

（2）設DH=x，由由題意，CD=2x，CH=x，

∴AD=2AB=4x， ∴AH=AD﹣DH=3x，

∵CH⊥AD，

∴AC==2x，

∴AC2+CD2=AD2， ∴∠ACD=90°， ∴∠BAC=∠ACD=90°， ∴∠CAD=30°，

∴∠ACH=60°，

∵∠ECF=60°，

∴∠HCF=∠ACE， ∴△ACE∽△HCF， ∴=2，

∴AE=2FH．

（3）如圖3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM與AD交于點H．

∵∠ECF+∠EAF=180°，

∴∠AEC+∠AFC=180°，

∵∠AFC+∠CFN=180°，

∴∠CFN=∠AEC，

∵∠M=∠CNF=90°， ∴△CFN∽△CEM，

∴， ∵ABCM=ADCN，AD=3AB， ∴CM=3CN，

∴，設CN=a，FN=b，則CM=3a，EM=3b，

∵∠MAH=60°，∠M=90°， ∴∠AHM=∠CHN=30°， ∴HC=2a，HM=a，HN=a，

∴AM=a，AH=a， ∴AC=a，

AE+3AF=（EM﹣AM）+3（AH+HN﹣FN）=EM﹣AM+3AH+3HN﹣3FN=3AH+3HN﹣AM=a，

∴=