Question

【題目】已知：在△ABC中，AH⊥BC，垂足為點H，若AB+BH=CH，∠ABH=70°，則∠BAC=_____°．

Answer 1

【答案】75°或35°

【解析】

分析題意，可知本題需分兩種情況進行討論，△ABC為銳角三角形和△ABC為直角三角形；

當△ABC為鈍角三角形時，過A作BC的垂線，交CB的延長線于點H，由AB+BH=CH，不難得出AB=BC，接下來，再利用三角形外角的性質，可得∠BAC的度數；

當△ABC為銳角三角形時，在HC上取D點，使BH=HD，連接AD，再結合AB+BH=CH，不難得出AD=DC，接下來，再利用三角形外角的性質，可得∠DAC的度數；

由∠ABH=70°，利用等腰三角形的性質可得出∠BAD的度數，結合上述所得，可得∠BAC的度數.

根據題意畫出圖形，

當△ABC為鈍角三角形時，過A作BC的垂線，交CB的延長線于點H，

∵AB+BH=CH，HB+BC=CH，

∴AB=BC，

∴∠BAC=∠ACB.

∵∠ABH=70°，

∴∠BAC=∠ACB=35°.

當△ABC為銳角三角形時，在HC上取D點，使BH=HD，連接AD，

∵AB+BH=HC=HD+DC，BH=HD，

∴AB=DC.

∵AH⊥BD，BH=HD，

∴AB=AD，

∴∠B=∠ADH=70°，

∴∠BAD=40°.

∵AB=DC，AB=AD，

∴AD=CD，

∴∠C=∠DAC，

∴∠ADH=∠C+∠DAC=2∠C，

∴∠DAC=35°，

∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=40°+35°=75°.

故答案為：75°或35°