Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠BAD=90°，點E在BC的延長線上，且∠DEC=∠BAC．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若AC∥DE，當AB=8，CE=2時，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AC的長為．

【解析】（1）先判斷出BD是圓O的直徑，再判斷出BD⊥DE，即可得出結論；

（2）先判斷出AC⊥BD，進而求出BC＝AB＝8，進而判斷出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判斷出△CFD∽△BCD，即可得出結論．

（1）如圖，連接BD，

∵∠BAD=90°，

∴點O必在BD上，即：BD是直徑，

∴∠BCD=90°，

∴∠DEC+∠CDE=90°．

∵∠DEC=∠BAC，

∴∠BAC+∠CDE=90°．

∵∠BAC=∠BDC，

∴∠BDC+∠CDE=90°，

∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．

∵點D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切線；

（2）∵DE∥AC．

∵∠BDE=90°，

∴∠BFC=90°，

∴CB=AB=8，AF=CF=AC，

∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，

∴∠CDE=∠CBD．

∵∠DCE=∠BCD=90°，

∴△BCD∽△DCE，

∴，

∴，

∴CD=4．

在Rt△BCD中，BD==4，

同理：△CFD∽△BCD，

∴，

∴，

∴CF=，

∴AC=2AF=．