Question

【題目】（本小題滿分9分）已知點D是邊AB上一動點（不與A，B重合）分別過點A，B向直線CD作垂線，垂足分別為E，F，O為邊AB的中點.

（1）如圖1，當點D與點O重合時，AE與BF的位置關系是____________，OE與OF的數量關系是__________；

（2）如圖2，當點D在線段AB上不與點O重合時，試判斷OE與OF的數量關系，并給予證明；

（3）如圖3，當點D在線段BA的延長線上時，此時（2）中的結論是否成立？請畫出圖形并寫出主要證明思路．

Answer 1

【答案】（1）AE∥BF，OE=OF；（2） OE=OF，證明見解析；（3）（2）中的結論成立，圖形及證明思路見解析．

【解析】（1）AE∥BF，OE=OF．

如圖，

當點D與點O重合時，AE與BF的位置關系是AE∥BF，OE與OF的數量關系是OE=OF．

理由是：∵O為AB的中點，

∴AO=BO，

∵AE⊥CD，BF⊥CO，

∴AE∥BF，∠AEO=∠BFO=90°，（2分）

在和中

∠AOE=∠BOF，∠AEO=∠BFO，AO=BO，

∴△AEO≌△BFO，

∴OE=OF，

故答案為：AE∥BF，OE=OF（3分）

（2）結論：OE=OF． （4分）

證明：如圖，延長EO交BF于G．

∵AE∥BF，

∴∠AEO=∠BGO，

在和中，，

∴△AEO≌△BGO（ASA）.

∴OE=OG.

∵BF⊥CD，

∴FO是斜邊上的中線，

∴OE=OF=OG，

即OE=OF．（6分）

（3）（2）中的結論仍然成立． （7分）

所畫圖形如圖所示，

（8分）

證明思路：延長EO、FB交于G．

由（2）的證明思路可以得到△AOE≌△BOG，由全等得到OE=OG；由BF⊥CD，得到FO是斜邊GE上的中線；可得到OE=OF．（9分）