Question

【題目】如圖，一次函數y＝x+1的圖象與二次函數y＝x2+bx+c的圖象交于A，B兩點，點A在x軸上．點B的橫坐標為4．

（1）b＝　 　，c＝　 　；

（2）設二次函數的圖象與y軸交于C點，與x軸的另一個交點為D．連接AC，CD，求∠ACD的正弦值；

（3）若M點在x軸下方二次函數圖象上，

①過M點作y軸平行線交直線AB于點E，以M點為圓心，ME的長為半徑畫圓，求圓M在直線AB上截得的弦長的最大值；

②若∠ABM＝∠ACO，則點M的坐標為　 　．

Answer 1

【答案】（1）﹣，﹣3；（2）；（3）①，②

【解析】

（1）求出點A、B的坐標，將點A、B的坐標代入拋物線表達式，即可求解；

（2）由點A、C、D的坐標得：AD=5，DC=3，AC=，利用解直角三角形的方法求解即可；

（3）①EF=2EH=2EMcos∠AEM=（m+1﹣m2+m+3）=﹣m2+m+，即可求解；

②利用解直角三角形的方法求AP的值，得到OP，進而求解．

（1）對于y=x+1，令y=0，則x=﹣2，故點A（﹣2，0），

將點B的坐標代入直線表達式并解得：點B（4，3），

將點A、B的坐標代入拋物線表達式得：，解得：，

故答案為：﹣；﹣3；

（2）由（1）知拋物線的表達式為：y=x2﹣x﹣3①，

令y=0，則x=3或﹣2，故點D（3，0），

令x=0，則y=﹣3，故點C（0，﹣3），

由點A、C、D的坐標得：AD=5，DC=3，AC=，

過點D作DH⊥AC于點H，設CH=x，則AH=﹣x，

在△ACD中，HD2=OA2﹣AH2=CD2﹣CH2，即25﹣（﹣x）2=（3）2﹣x2，

解得：x=，

，

則sin∠ACD=；

（3）①如圖2，設圓M與直線AB的另外一個交點為F，則EF為所求，

連接MF，過點M作MH⊥AB于點H，

由直線AB的表達式知tan∠EAO=，則tan∠AEM=2，則cos∠AEM=，

設點M（m，m2﹣m﹣3），則點E（m，m+1），

則EF=2EH=2EMcos∠AEM=（m+1﹣m2+m+3）=﹣m2+m+，

∵＜0，故EF有最大值，當m=1時，EF的最大值為，

故圓M在直線AB上截得的弦長的最大值為；

②如圖3，設直線AB交y軸于點H（0，1），直線BM交x軸于點P，過點P作PQ⊥AB于點Q，

由直線AB的表達式知tan∠BAO=，則tan∠AGO=2，

在Rt△AQD中，tan∠QAD= tan∠BAO=，

在△AOC中，tan∠ACO==，

∵∠ABM=∠ACO，

tan∠ABM= tan∠ACO==

設PQ=2x，則QB=3x，AQ=4x，

則AB=AQ+QB=7x=，解得：x=，

AP=，

∴OP=AP﹣OA=，故點P，

由點B、P的坐標得，直線PB的表達式為：y=﹣x﹣4②，令y=x2﹣x﹣3①

聯立①②并解得：x=或4（與點B重合，舍去），

將x=代入②，得

故點M，

故答案為．