Question

【題目】如圖所示，正方形ABCD中，E、F分別是BC、DC上的一點，連接AE、AF， AE、AF交于點H且∠AHB=90°.

（1）求證：BE=CF．

（2）若正方形面積是25m2，BE=AD，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）m

【解析】

（1）利用ASA證明△ABE≌△BCF，利用全等三角形的性質即可證得結論；（2）由正方形面積是25m2，求得正方形的邊長為5cm，根據已知條件求得BE=2，即可得CF=2，再求得DF的長，在Rt△ADF中，根據勾股定理求得AF的長即可.

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°，

∵BH⊥AE，

∴∠BHE=90°，

∴∠AEB+∠EBH=90°，

∴∠BAE=∠EBH，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（ASA），

∴BE=CF；

（2）∵正方形面積是25m2，

∴AB=BC=5，

由（1）得：△ABE≌△BCF，

BE==2，

∴CF=BE=2，

∴DF=5﹣2=3，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD=5，∠ADF=90°，

由勾股定理得：AF==== m．