Question

【題目】如圖，CD∥AB，∠ABC，∠BCD 的角平分線交 AD 于 E 點，且 E 在 AD 上，CE 交 BA 的延長線于 F 點．

（1）試問 BE 與 CF 互相垂直嗎？若垂直，請說明理由；
（2）若 CD=3，AB=4，求 BC 的長 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：垂直，理由如下：
∵CD∥AB，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
又∵∠ABC，∠BCD的角平分線交于E點，
∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，
∴∠EBC+∠ECB=∠ABC+∠BCD=（∠ABC+∠BCD）=90°，
∴∠CEB=90°，
∴BE 與 CF 互相垂直．

（2）解：由（1）知∠CEB=90°，
∴∠FEB=90°，
在△FBE 和△CBE 中，

∴△FBE≌△CBE（ASA），

∴BF=BC，EF=EC，
又∵CD∥AB，
∴∠DCE=∠AFE，
在△DCE和△AFE中，

∴△DCE≌△AFE，
∴DC=AF，
∵CD=3，AB=4，
∴BC=BF=AF+AB=CD+AB=3+4=7，

【解析】（1）垂直，理由如下：由兩直線平行，同旁內角互補得出∠ABC+∠BCD=180°；又由角平分線定義得出∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，
從而得出∠EBC+∠ECB=90°，根據三角形內角和定理得出∠CEB=90°，即BE 與 CF 互相垂直．
（2）由（1）知∠CEB=∠FEB=90°，根據ASA得△FBE≌△CBE，再由全等三角形的性質得出BF=BC，EF=EC；又由兩直線平行，內錯角相等，得到∠DCE=∠AFE，由ASA得△DCE≌△AFE，再根據全等三角形的性質得出DC=AF，由已知條件和等量代換求出BC的值.
【考點精析】關于本題考查的角的平分線和平行線的性質，需要了解從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補才能得出正確答案．