Question

【題目】在數學課上，同學們已經探究過“經過已知直線外一點作這條直線的垂線”的尺規作圖：

已知：直線l和l外一點P．

求作：直線l的垂線，使它經過點P．

做法：如圖：（1）在直線l上任取兩點A、B；

（2）分別以點A、B為圓心，、長為半徑畫弧，兩弧相交于點Q；

（3）作直線．

參考以上材料作圖的方法，解決以下問題：

（1）以上材料作圖的依據是__________________．

（2）已知：直線l和l外一點P．

求作：，使它與直線l相切于點C（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．

（3）完成下面的證明．

證明：∵_____________，且___________．

∴直線l是P的切線（_____________________）（填推理的依據）．

Answer 1

【答案】（1）垂直平分線上的點到線段兩端距離相等；

（2）見解析；

（3）；為半徑；過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

【解析】

（1）由AP=AQ,BP=PQ可知，AB為PQ的垂直平分線，根據線段的垂直平分線的判定定理的逆定理可判斷PQ；

（2）按照材料的作圖方法，先過點P作直線的垂線，交AB于C；再根據“過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”可知，以PC為半徑作圓，與直線l相切于點C.

（3）利用，PC為半徑，再根據切線的判定定理可判斷直線l是的切線.

（1） 垂直平分線上的點到線段兩端距離相等；

（2）如圖所示：

（3）∵，且為半徑．

∴直線l是P的切線（過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）