Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（5，0）兩點，直線y=﹣x+3與y軸交于點C，與x軸交于點D．點P是x軸上方的拋物線上一動點，過點P作PF⊥x軸于點F，交直線CD于點E．設點P的橫坐標為m．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若PE=5EF，求m的值；

（3）若點E′是點E關于直線PC的對稱點，是否存在點P，使點E′落在y軸上？若存在，請直接寫出相應的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x+5．（2）m=2或m=．（3）點P坐標為（0，5），（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；

（2）用含m的代數式分別表示出PE、EF，然后列方程求解；

（3）解題關鍵是識別出當四邊形PECE′是菱形，然后根據PE=CE的條件，列出方程求解；當四邊形PECE′是菱形不存在時，P點y軸上，即可得到點P坐標．

試題解析：（1）將點A、B坐標代入拋物線解析式，得：

，解得，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+4x+5．

（2）∵點P的橫坐標為m，

∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+3），F（m，0）．

∴PE=|yP﹣yE|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+3）|=|﹣m2+m+2|，

EF=|yE﹣yF|=|（﹣m+3）﹣0|=|﹣m+3|．

由題意，PE=5EF，即：|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|-m+15|

① 若﹣m2+m+2=-m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，

解得：m=2或m=；

② 若﹣m2+m+2=﹣（-m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，

解得：m=或m=．

由題意，m的取值范圍為：﹣1＜m＜5，故m=、m=這兩個解均舍去．

∴m=2或m=．

（3）假設存在．

作出示意圖如下：

∵點E、E′關于直線PC對稱，

∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．

∵PE平行于y軸，∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，∴PE=CE，

∴PE=CE=PE′=CE′，即四邊形PECE′是菱形．

當四邊形PECE′是菱形存在時，

由直線CD解析式y=﹣x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．

過點E作EM∥x軸，交y軸于點M，易得△CEM∽△CDO，

∴，即，解得CE=|m|，

∴PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+m+2|

∴|﹣m2+m+2|=|m|．

（1） 若﹣m2+m+2=m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣ ；

③ 若﹣m2+m+2=﹣m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m1=3+，m2=3﹣．

由題意，m的取值范圍為：﹣1＜m＜5，故m=3+這個解舍去．

當四邊形PECE′是菱形這一條件不存在時，

此時P點橫坐標為0，E，C，E'三點重合與y軸上，也符合題意，

∴P（0，5）

綜上所述，存在滿足條件的點P，可求得點P坐標為（0，5），（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）