Question

【題目】如圖，拋物線L1：y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A(﹣1，0)，OB=OC=3OA．若拋物線L2與拋物線L1關于直線x=2對稱．

（1）求拋物線L1與拋物線L2的解析式；

（2）在拋物線L1上是否存在一點P，在拋物線L2上是否存在一點Q，使得以BC為邊，且以B、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出P、Q兩點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線L1的解析式為y=-x2+2x+3，拋物線L2的解析式為y=-(x-3)2+4；（2）存在P(2，3)，Q(5，0)或P(，)，Q(，)，使得以BC為邊且以B、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形．

【解析】

（1）用待定系數法求拋物線L1的解析式并配方成頂點式，得到拋物線L1的頂點坐標D；由拋物線L2與拋物線L1關于直線x＝2對稱可得兩拋物線開口方向、大小相同，且兩頂點關于直線x＝2對稱，因此求得拋物線L2的頂點D'，進而得到拋物線L2的頂點式；
（2）由于BC為邊，以B、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，所以有兩種情況：①BQ∥PC，BQ＝PC；②BP∥CQ，BP＝CQ．因為可把點B、C之間看作是向左（或右）平移3個單位，再向上（或下）平移3個單位得到，所以點P、Q之間也有相應的平移關系，故可由點P坐標（t，t＋2t＋3）的t表示點Q坐標，再把點Q坐標代入拋物線L2解方程即求得t的值，進而求得點P、Q坐標．

（1）∵A(﹣1，0)，

∴OB=OC=3OA=3，

∴B(3，0)，C(0，3)

∵拋物線L1：y=ax2+bx+c經過點A、B、C，

∴，解得：，

∴拋物線L1的解析式為y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，

∴拋物線L1的頂點D(1，4)，

∵拋物線L2與拋物線L1關于直線x=2對稱，

∴兩拋物線開口方向、大小相同，拋物線L2的頂點D'與點D關于直線x=2對稱，

∴D'(3，4)，

∴拋物線L2的解析式為y=-(x-3)2+4；

（2）存在滿足條件的P、Q，使得以BC為邊且以B、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，設拋物線L1上的P(t，-t2+2t+3)，

①若四邊形BCPQ為平行四邊形，如圖1，

∴BQ∥PC，BQ=PC，

∴BQ可看作是CP向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到的，

∴Q(t+3，-t2+2t)，

∵點Q在拋物線L2上，

∴﹣t2+2t=-(t+3-3)2+4，解得：t=2，

∴P(2，3)，Q(5，0)；

②若四邊形BCQP為平行四邊形，如圖2，

∴

BP∥CQ，BP=CQ，

∴CQ可看作是BP向左平移3個單位，再向上平移3個單位得到的，

∴Q(t﹣3，-t2+2t+6)，

∴﹣t2+2t+6=-(t-3-3)2+4，解得：t，

∴P(，)，Q(，)；

綜上所述：存在P(2，3)，Q(5，0)或P(，)，Q(，)，使得以BC為邊且以B、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形．