Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣2，0），點B（4，0），與y軸交于點C（0，8），連接BC，又已知位于y軸右側且垂直于x軸的動直線l，沿x軸正方向從O運動到B（不含O點和B點），且分別交拋物線、線段BC以及x軸于點P，D，E．

（1）求拋物線的表達式；

（2）連接AC，AP，當直線l運動時，求使得△PEA和△AOC相似的點P的坐標；

（3）作PF⊥BC，垂足為F，當直線l運動時，求Rt△PFD面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1） y＝﹣x2+2x+8；（2）點P（）；（3）

【解析】

（1）將點A、B、C的坐標代入二次函數表達式，即可求解；

（2）只有當∠PEA＝∠AOC時，PEA△∽AOC，可得：PE＝4AE，設點P坐標（4k﹣2，k），即可求解；

（3）利用Rt△PFD∽Rt△BOC得： ，再求出PD的最大值，即可求解．

解：（1）將點A、B、C的坐標代入二次函數表達式得：，

解得：a= -1，b=2，c=8，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+8；

（2）∵點A（﹣2，0）、C（0，8），

∴OA＝2，OC＝8，

∵l⊥x軸，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，

∵∠PAE≠∠CAO，

∴只有當∠PEA＝∠AOC時，PEA△∽AOC，

此時，即：，

∴AE＝4PE，

設點P的縱坐標為k，則PE＝k，AE＝4k，

∴OE＝4k﹣2，

將點P坐標（4k﹣2，k）代入二次函數表達式并解得：

k＝0或（舍去0），則點P（）；

（3）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，

∵l∥y軸，

∴∠PDF＝∠COB，

∴△PFD∽△BOC，

∴，

∴S△PDF＝S△BOC，

而S△BOC＝OBOC＝×4×8=16，

BC＝，

∴S△PDF＝S△BOC＝PD2，

即當PD取得最大值時，S△PDF最大，

將B、C坐標代入一次函數表達式得：

，

解得：，

∴直線BC的表達式為：y＝﹣2x+8，

設點P（m，﹣m2+2m+8），則點D（m，﹣2m+8），

則PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，

當m＝2時，PD的最大值為4，

故當PD＝4時，∴S△PDF＝PD2＝．