Question

【題目】在△ABC中，點D在AB邊上，AD=CD，DE⊥AC于點E，CF∥AB，交DE的延長線于點F．
（1）如圖1，求證：四邊形ADCF是菱形；

（2）如圖2，當∠ACB=90°，∠B=30°時，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中與線段AC相等的線段（線段AC除外）．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，

∵AD=CD，DE⊥AC，

∴∠DCA=∠ADC，CE=AE，

∵CF∥AB，

∴∠ECF=∠EAD，

∴∠DCA=∠ECF，

即CE平分∠DCF，

而CE⊥DF，

∴CD=CF，

∴AD∥CF，

∴四邊形ADCF為平行四邊形，

而DA=DC，

∴四邊形ADCF是菱形

（2）解：如圖2，∵∠ACB=90°，∠B=30°，

∴∠BAC=60°，

而DA=DC，

∴△ADC為等邊三角形，

∴AC=AD=CD，∠ACD=60°，

∵四邊形ADCF為菱形，

∴AC=AD=DC=CF=AF，

∵∠B=∠DCB=30°，

∴BD=CD，

∴AC=AD=DC=CF=AF=BD

【解析】（1）如圖1，利用等腰三角形的性質得∠DCA=∠ADC，CE=AE，再利用CF∥AB得到∠ECF=∠EAD，則∠DCA=∠ECF，于是根據等腰三角形的判定方法可得CD=CF，所以四邊形ADCF為平行四邊形，
加上DA=DC可判斷四邊形ADCF是菱形；（2）如圖2，先證明△ADC為等邊三角形得到AC=AD=CD，∠ACD=60°，再利用菱形的性質可得AC=AD=DC=CF=AF，然后證明BD=CD即可．