Question

【題目】如圖，⊙O1、⊙O2相交于P、Q兩點，其中⊙O1的半徑r1=2，⊙O2的半徑r2= ．過點Q作CD⊥PQ，分別交⊙O1和⊙O2于點C、D，連接CP、DP，過點Q任作一直線AB交⊙O1和⊙O2于點A、B，連接AP、BP、AC、DB，且AC與DB的延長線交于點E．
（1）求證： ；
（2）若PQ=2，試求∠E度數．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵⊙O1的半徑r1=2，⊙O2的半徑r2= ，

∴PC=4，PD=2 ，

∵CD⊥PQ，

∴∠PQC=∠PQD=90°，

∴PC、PD分別是⊙O1、⊙O2的直徑，

在⊙O1中，∠PAB=∠PCD，

在⊙O2中，∠PBA=∠PDC，

∴△PAB∽△PCD，

∴ = = = ，

即 = ．

（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r1=4，PQ=2（已知），

∴cos∠CPQ= ，

∴∠CPQ=60°，

∵在Rt△PDQ中，PD=2r2=2 ，PQ=2，

∴sin∠PDQ= ，

∴∠PDQ=45°，

∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，

又∵CD⊥PQ，

∴∠PQD=90°，

∴PD是⊙O2的直徑，

∴∠PBD=90°，

∴∠ABE=90°﹣∠PBQ=45°

在△EAB中，∴∠E=180°﹣∠CAQ﹣∠ABE=75°，

答：∠E的度數是75°

【解析】（1）求出PC、PD，證△PAB∽△PCD，推出 = ，代入求出即可；（2）求出cos∠CPQ= ，求出∠CPQ=60°，同理求出∠PDQ=45°，推出∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，求出∠PBD=90°，求出∠ABE=45°根據三角形的內角和定理求出即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的內角和外角的相關知識，掌握三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角，以及對圓周角定理的理解，了解頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．