Question

勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．1955年希臘發行了二枚以勾股圖為背景的郵票．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構成，它可以驗證勾股定理．在右圖的勾股圖中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，點H在邊QR上，點D，E在邊PR上，點G，F在邊PQ上，那么△PQR的周長等于

 

．

Answer 1

分析：在直角△ABC中，根據三角函數即可求得AC，進而由等邊三角形的性質和正方形的性質及三角函數就可求得QR的長，在直角△QRP中運用三角函數即可得到RP、QP的長，就可求出△PQR的周長．

解答：解：延長BA交QR于點M，連接AR，AP．
∵AC=GC，BC=FC，∠ACB=∠GCF，
∴△ABC≌△GFC，
∴∠CGF=∠BAC=30°，
∴∠HGQ=60°，
∵∠HAC=∠BAD=90°，
∴∠BAC+∠DAH=180°，
又AD∥QR，
∴∠RHA+∠DAH=180°，
∴∠RHA=∠BAC=30°，
∴∠QHG=60°，
∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，
∴△QHG是等邊三角形．
AC=AB•cos30°=4×

3

2

=2

3

．
則QH=HA=HG=AC=2

3

．
在直角△HMA中，HM=AH•sin60°=2

3

×

3

2

=3．AM=HA•cos60°=

3

．
在直角△AMR中，MR=AD=AB=4．
∴QR=2

3

+3+4=7+2

3

．
∴QP=2QR=14+4

3

．
PR=QR•

3

=7

3

+6．
∴△PQR的周長等于RP+QP+QR=27+13

3

．
故答案為：27+13

3

．

點評：正確運用三角函數以及勾股定理是解決本題的關鍵．