Question

【題目】如圖，已知⊙A與菱形ABCD的邊BC相切于點E，與邊AB相交于點F，連接EF．

（1）求證：CD是⊙A的切線；

（2）若⊙A的半徑為2，tan∠BEF＝，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）作AH⊥CD于H，連結AE，AC， 根據菱形性質得到AC平分∠BCD，AE⊥BC，AH⊥CD，得到AE＝AH，即CD為⊙A的半徑，所以⊙A與邊CD也相切；（2）tan∠BEF＝，所以∠BEF＝30°，得到∠AEF＝60°，又因為AE＝AF，得到∠FAE＝60°，∠B＝30°，然后利用扇形公式算出扇形FAE面積，用三角形ABE的面積減去扇形AEF面積即可

（1）證明：作AH⊥CD于H，連結AE，AC，如圖，

∵BC與⊙A相切于點E，

∴AE⊥BC，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AC平分∠BCD，

而AE⊥BC，AH⊥CD，

∴AE＝AH，

即CD為⊙A的半徑，

∴⊙A與邊CD也相切；

（2）解：∵tan∠BEF＝，

∴∠BEF＝30°，

∵∠AEB＝90°，

∴∠AEF＝60°，

∵AE＝AF，

∴∠FAE＝60°，∠B＝30°，

∵AE＝2，

∴S扇形FAE＝，BE＝

∴S陰影＝S△ABE﹣S扇形AEF＝×2×2﹣π＝2﹣π．