Question

【題目】已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME．

（1）如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí)，求證：MB∥CF；

（2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長(zhǎng)；

（3）如圖2，當(dāng)∠BCE=45°時(shí)，求證：BM=ME．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）BM=ME=；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）如圖1，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，證明BM為△ADF的中位線即可.

（2）如圖2，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線.

（3）如圖3，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線：BM=DF，ME=AG；然后證明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，從而證明BM=ME.

（1）如圖1，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD.

∴點(diǎn)B為線段AD的中點(diǎn).

又∵點(diǎn)M為線段AF的中點(diǎn)，

∴BM為△ADF的中位線.

∴BM∥CF.

（2）如圖2，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，則易知△BCD與△ABC為等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD=a，AC=AD=a，

∴點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn).

∴BM=DF.

分別延長(zhǎng)FE與CA交于點(diǎn)G，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，

∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a.

∴點(diǎn)E為FG中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn).

∴ME=AG.

∵CG=CF=a，CA=CD=a，∴AG=DF=a.

∴BM=ME=.

（3）如圖3，延長(zhǎng)AB交CE于點(diǎn)D，連接DF，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，AC=CD.

∴點(diǎn)B為AD中點(diǎn).

又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，∴BM=DF.

延長(zhǎng)FE與CB交于點(diǎn)G，連接AG，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，

∴CE=EF=EG，CF=CG.

∴點(diǎn)E為FG中點(diǎn).

又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，∴ME=AG.

在△ACG與△DCF中，∵，

∴△ACG≌△DCF（SAS）.

∴DF=AG，∴BM=ME.