Question

【題目】（12分）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊長OA、OC分別為12cm、6cm，點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B，且18a+c=0．

（1）求拋物線的解析式．

（2）如果點(diǎn)P由點(diǎn)A開始沿AB邊以1cm/s的速度向終點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B開始沿BC邊以2cm/s的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)．

①移動(dòng)開始后第t秒時(shí)，設(shè)△PBQ的面積為S，試寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．

②當(dāng)S取得最大值時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-4x-12；（2）①S=-t2+6t，0＜t＜6；②拋物線上存在點(diǎn)R（3，-18），使P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)矩形的對邊相等求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，再聯(lián)立18a+c=0，解關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，然后即可得到拋物線的關(guān)系式；

（2）①根據(jù)速度的不同，表示出BP、BQ的長度，然后利用三角形的面積公式列式整理即可得到S與t的關(guān)系式，根據(jù)速度分別求出點(diǎn)P與點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間即可得到t取值范圍；

②先根據(jù)二次函數(shù)的最大值問題求出S取最大值時(shí)的t的值，從而求出點(diǎn)P與點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，分QR與PB是對邊時(shí)，PR與QB是對邊時(shí)，兩種情況求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式進(jìn)行驗(yàn)證，如果點(diǎn)Q在拋物線上，則存在，否則不存在．

試題解析：（1）∵矩形OABC邊長OA、OC分別為12cm和6cm，

∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（0，-12），B（6，-12），

又∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B，且18a+c=0，

∴，

解得，

∴拋物線解析式為y=x2-4x-12；

（2）①根據(jù)題意，PB=AB-AP=6-t，BQ=2t，

所以，S=PBBQ=（6-t）×2t=-t2+6t，

即S=-t2+6t，

點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為6÷1=6秒，

點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為12÷2=6秒，

所以，t的取值范圍是0＜t＜6；

②拋物線上存在點(diǎn)R（3，-18），使P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

理由如下：∵S=-t2+6t=-（t-3）2+9，

∴當(dāng)t=3秒時(shí)，S取最大值，

此時(shí)，PB=AB-AP=6-t=6-3=3，

BQ=2t=2×3=6，

所以，要使P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

（i）當(dāng)QR與PB是對邊時(shí)，點(diǎn)R的橫坐標(biāo)是6+3=9，縱坐標(biāo)是-（12-6）=-6，

所以點(diǎn)R的坐標(biāo)為（9，-6），

此時(shí)×92-4×9-12=6≠-6，

所以點(diǎn)R不在拋物線上，

（ii）當(dāng)PR與QB是對邊時(shí)，點(diǎn)R的橫坐標(biāo)是3，縱坐標(biāo)是-（12+6）=-18，

所以點(diǎn)R的坐標(biāo)是（3，-18），

此時(shí)， ×32-4×3-12=-18，

所以點(diǎn)R在拋物線上，

綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)R（3，-18），使P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．