Question

（2004•濟寧）已知拋物線y=x²-（2m-1）x+4m-6．
（1）試說明對于每一個實數m，拋物線都經過x軸上的一個定點；
（2）設拋物線與x軸的兩個交點A（x₁，0）和B（x₂，0）（x₁＜x₂）分別在原點的兩側，且A、B兩點間的距離小于6，求m的取值范圍；
（3）拋物線的對稱軸與x軸交于點C，在（2）的條件下，試判斷是否存在m的值，使經過點C及拋物線與x軸的一個交點的⊙M與y軸的正半軸相切于點D，且被x軸截得的劣弧與是等弧？若存在，求出所有滿足條件的m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將拋物線的解析式化為交點式，可求得拋物線與x軸的交點其中一個是定值，不隨m的變化而變化；
（2）本題可從兩個方面考慮：①AB的距離小于6，可用韋達定理求出一個m的取值范圍，
②由于A、B分別在原點兩側，因此根據韋達定理有x₁x₂＜0，據此可求出另外一個m的取值范圍．綜合兩種情況即可得出所求的m的取值范圍；
（3）本題要先畫出圖形，分拋物線對稱軸在y軸左側和右側兩種情況進行求解．解題思路一致．假設圓M與y軸的切點為D，過M作x軸的垂線設垂足為E，都是通過在直角三角形ACD和MEB（或MEA）中分別表示出OD和ME的長，根據OD=ME來列等量關系求出t的值．
解答：解：（1）由題意可知：y=（x-2）（x-2m+3），
因此拋物線與x軸的兩個交點坐標為：
（2，0）（2m-3，0），
因此無論m取何值，拋物線總與x軸交于（2，0）點；

（2）令y=0，有：x²-（2m-1）x+4m-6=0，則：
x₁+x₂=2m-1，x₁x₂=4m-6；
∵AB＜6
∴x₂-x₁＜6，
即（x₂-x₁）²＜36，（x₁+x₂）²-4x₁x₂＜36，
即（2m-1）²-4（4m-6）＜36，
解得-＜x＜．①
根據A、B分別在原點兩側可知：x₁x₂＜0，
即4m-6＜0，m＜．②
綜合①②可得-＜m＜；

（3）假設存在這樣的m，設圓M與y軸的切點為D，過M作x軸的垂線設垂足為E．
①當C點在x正半軸時，x=＞0，
因此＜m＜，
∵弧BC=弧CD，
因此BC=CD．
OC=，CD=BC=OB-OC=2-=，EC=BC=，
OE=MD=OC+CE=+=．
易知：OD=ME，即OD²=ME²
∴CD²-OC²=CM²-CE²，
（）²-（）²=（）²-（）²；
解得m=，符合m的取值范圍．
②當C點在x負半軸時，x=＜0，
因此-＜m＜，
同①可求得OC=，CD=AC=，CE=，MD=OE=．
同理有：CD²-OC²=MC²-CE²
（）²-（）²=（）²-（）²
化簡得：m²=，
∴m=±，均不符合m的取值范圍，
因此這種情況不成立．
綜上所述，存在符合條件的m，且m=．
點評：本題結合圓和一元二次方程的相關知識考查了二次函數的綜合應用，難度較大．