Question

【題目】如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．

（1）動手操作：利用尺規作∠ABC的平分線，交AC于點O，再以O為圓心，OC的長為半徑作⊙O（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）綜合運用：在你所作的圖中，

①判斷AB與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

②若AC=12，tanOBC=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AB與⊙O相切，理由見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）只需按照題目的要求畫圖即可；

（2）①過點O作OD⊥AB，垂足為D，如圖所示，只需證明OD=OC即可；②在Rt△OBC中，運用三角函數可求出，從而得到，易證Rt△ADO∽Rt△ACB，運用相似三角形的性質可求得AD=8，然后在Rt△ADO中運用勾股定理即可解決問題．

試題解析：（1）如圖，⊙O即為所求作；

（2）AB與⊙O相切，理由如下：

過點O作OD⊥AB，垂足為D，如圖所示．

∵∠ACB=90°，∴OC⊥BC．

∵BO是∠ABC的平分線，OD⊥AB，OC⊥BC，

∴OC=OD．

∴AB與⊙O相切；

（3）在Rt△OBC中，

tan∠OBC=

∴．

又∵∠ADO=∠ACB=90°，∠A=∠A，

∴Rt△ADO∽Rt△ACB，

∴，

∴AD=AC=×12=8．

設⊙O的半徑為r，則OD=OC=r，AO=12-r．

在Rt△ADO中，

根據勾股定理可得r2+82=（12-r）2，

解得r=，

∴⊙O的半徑是．