Question

某銷售公司為了更好地銷售某種商品，技術人員對去年三月份至九月份該商品的售價和進價進行了調研．調研結果如下：每件商品的售價M（元）與時間t（月）（3≤t≤9，t為整數）的函數關系式為：M=

2 3 t+4(3≤t≤7) 1 6 t+ 15 2 (7≤t≤9)

；每件商品的成本Q（元）與時間t（月）（3≤t≤9，t為整數）的關系如下表：

時間t（月）	…	4	5	6	7	…
每件進價Q（元）	…	8 3	11 3	4	11 3	…

根據以上信息解答下列問題：
（1）認真分析上表中的數據，用所學過的一次函數、二次函數、反比例函數的知識確定一個滿足這些數據的Q與t之間的函數關系式；
（2）按照去年的銷售規律，在今年的三月至七月期間，若該公司共有此種商品90000件，準備在一個月內全部銷售完，那么在哪個月銷售所獲利潤最小？最小利潤是多少？
（3）預計今年十月每件商品的進價將比去年九月減少a%，隨即進價將出現反彈，十一月份的進價將在今年十月的基礎上增加2a%．而十一月份每件商品的售價將比去年九月增加0.5a%．欲使今年十一月份銷售每件產品的利潤是去年九月份的1.2倍，試估算a的整數值．（參考數據：48²=2304，49²=2401，50²=2500，51²=2601，52²=2704）

Answer 1

分析：（1）設Q與t之間的函數關系式為Q=at²+bt+c，根據統計表中的數據利用待定系數法就可以求出結論；
（2）設在今年的三月至七月期間月銷售所獲利潤為W元，根據題意求出W與t之間的函數關系式，根據函數解析式的性質就可以求出最值；
（3）先根據（1）、（2）的結論求出去年9月的進價為：-

1

3

×81+4×9-8=1元，今年11月的進價為1（1-a%）（1+2a%）元，去年九月的售價為：

1

6

×9+

15

2

=9元，今年11月份的售價為：9（1+0.5a%）元，根據十一月份銷售每件產品的利潤是去年九月份的1.2倍建立方程求出其解就可以了．

解答：解：（1）設Q與t之間的函數關系式為Q=at²+bt+c，由統計表，得

8 3 =16a+4b+c 11 3 =25a+5b+c 4=36a+6b+c

，
解得：

a=- 1 3 b=4 c=-8

，
∴Q=-

1

3

t²+4t-8；
（2）設在今年的三月至七月期間月銷售所獲利潤為W元，由題意，得
W=[（

2

3

t+4）-（-

1

3

t²+4t-8）]×90000，
=[

1

3

t²-

10

3

t+12]×90000，
=30000t2-300000+1080000，
=30000（t²-10t）+1080000，
=30000（t-5）²+330000，
∵a=30000＞0，
∴拋物線的開口向上，W有最小值，
∴t=5時，W_最小值=330000，
∴在5月份銷售利潤最小，最小利潤是330000元；
（3）由題意，得
去年9月的進價為：-

1

3

×81+4×9-8=1元，
今年11月的進價為：1（1-a%）（1+2a%）元，
去年九月的售價為：

1

6

×9+

15

2

=9元，
今年11月份的售價為：9（1+0.5a%）元，
∴9（1+0.5a%）-1（1-a%）（1+2a%）=（9-1）×1.2，
設a%=m，則
9（1+0.5m）-1（1-m）（1+2m）=9.6，
9+4.5m-（1+m-2m²）=9.6，
20m²+35m-16=0，
m=

-35± 2505

40

，
∵50²=2500，
∴m=

-35±50

40

，
∴m₁=0.375，m₂=-2.125（舍去），
∴0.375=a%，
∴a=37.5，
∵a為整數，
∴a≈38．
答：a的整數值為38．

點評：本題考查了待定系數法求二次函數的解析式的運用，二次函數的頂點式的運用，列一元二次方程解實際問題的運用，解答本題時求出函數的解析式是解第三問的基礎，根據十一月份銷售每件產品的利潤是去年九月份的1.2倍建立方程是求a的值的關鍵．