Question

【題目】我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”. 如圖1，圖2，圖3中，是的中線，，垂足為點，像這樣的三角形均為“中垂三角形. 設.

（1）如圖1，當時，則_________，__________；

（2）如圖2，當時，則_________，__________；

歸納證明

（3）請觀察（1）（2）中的計算結果，猜想三者之間的關系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發現的關系式；

拓展應用

（4）如圖4，在中，分別是的中點，且. 若，，求的長.

Answer 1

【答案】（1） ，；（2），；（3），證明見解析；（4）

【解析】

（1）根據三角形的中位線得出；，進而得到計算即可得出答案；

（2）連接EF，中位線的性質以及求出AP、BP、EP和FP的長度再根據勾股定理求出AE和BF的長度即可得出答案；

（3）連接EF，根據中位線的性質得出，根據勾股定理求出AE與AP和EP的關系以及BF與BP和FP的關系，即可得出答案；

（4）取的中點，連接，結合題目求出四邊形是平行四邊形得出AP＝FP即可得到是“中垂三角形”，根據第三問得出的結論代入，即可得出答案(連接，交于點，證明求得是的中線，進而得出是“中垂三角形”，再結合第三問得出的結論計算即可得出答案).

解：（1）∵是的中線，∴是的中位線，

∴，且，易得.

∵，

∴，∴.

由勾股定理，得，

∴.

（2）如圖2，連結.

∵是的中線，

∴是的中位線，

∴，且，易得.

. ∵，

∴，

∴.

由勾股定理，得，

∴.

（3）之間的關系是.

證明如下：如圖3，連結.

∵是的中線，

∴是的中位線.

∴，且，

易得.

在和中，

∵，，

∴.

∴.

∴，

即.

（4）解法1：設的交點為. 如圖4，取的中點，連接.

∵分別是的中點，是的中點，

∴.

又∵，

∴.

∵四邊形是平行四邊形，

∴，

∴，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

∴是“中垂三角形”，

∴，即，

解得.

（另：連接，交于點，易得是“中垂三角形”，解法類似于解法1，如圖5）

解法2：如圖6，連接，延長交的延長線于點.

在中，∵分別是的中點，

∴.

∵，

∴.

又∵四邊形為平行四邊形，

∴，

易得，

∴，

∴，

∴是的中線，

∴是“中垂三角形”，

∴.

∵，

∴.

∴，

解得.

∵是的中位線，

∴.