Question

【題目】如圖，射線OA⊥射線OB，半徑的動圓M與OB相切于點Q，( 圓M 與OA沒有公共點 ), P是OA上的動點，且PM．設OP= ，OQ= ．

（1）求、所滿足的關系式，并寫出的取值范圍 ；

（2）當△MOP為等腰三角形時，求相應的值；

（3）是否存在大于2的實數，使△MQO∽△OMP？若存在，求相應的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，使△MQO∽△MOP

【解析】試題分析：（1）過點M作MD⊥OA，垂足為D，可以知道△MDP為直角三角形，DP=（x-2）cm，MD=ycm，勾股定理即可得出x、y所滿足的關系式，并寫出x的取值范圍；（2）若△MOP為等腰三角形，①若OM=MP，則有OD=PD，此時x=2×2=4；②若MP=OP時，x=3；③若OM=OP時，OM=4+y2，結合（1）求出x的值；（3）△MQO∽△OMP，因為∠Q=90°，∠OMP=90°，根據相似比及（1）的關系式求相應x的值．

試題解析：

(1)過點M作MD⊥OA，垂足為D，顯然ODMQ為矩形，

∴OD=MQ=2，MD=OQ=y，

∴PD=x2，

在Rt△MDP中,y2+(x2)2=32，

∴x24x+y2=5，

當如圖所示情況時，OD=2；

當M與OA相切時，

可知OP=2+，

∴x取值范圍為0x<2+；

(2)①若OM=MP，此時x=4，

②若MP=OP時，此時x=3，

③若OM=OP時，

∵OM=4+y2，

∴4+y2=x2，

∴，

解得x=；

(3)∵△QMO∽△MOP,此時∠OMP=90°,則，

∴，

∴4+y2=2x，

∴，

∴x=1+<2，

∴存在這樣的實數x,并且x=1+.