Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，⊙C的半徑為r（r＞1），P是圓內與圓心C不重合的點，⊙C的“完美點”的定義如下：若直線CP與⊙C交于點A，B，滿足|PA－PB|=2，則稱點P為⊙C的“完美點”，如圖為⊙C及其“完美點”P的示意圖．

（1）當⊙O的半徑為2時，

①點M（，0）　　⊙O的“完美點”，點N（0，1）　　⊙O的“完美點”，點T（－，－ ）　　⊙O的“完美點”（填“是”或者“不是”）；

②若⊙O的“完美點”P在直線y=x上，求PO的長及點P的坐標；

（2）⊙C的圓心在直線y=x+1上，半徑為2，若y軸上存在⊙C的“完美點”，求圓心C的縱坐標t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①點M不是⊙O的“完美點”，點N是⊙O的“完美點”．點T是⊙O的“完美點”．

②OP=1，點P的坐標為（， ）或（， ）．（2）1≤t≤1+ ．

【解析】解：（1）點M不是⊙O的“完美點”，

點N是⊙O的“完美點”．

點T是⊙O的“完美點”．

②根據題意，|PAPB|=2，

∴|OP+2（2OP）|=2∴OP=1．

若點P在第一象限內，作PQ⊥x軸于點Q，∵點P在直線上，OP=1，

∴OQ=，PQ=．∴P（， ）．

若點P在第三象限內，根據對稱性可知其坐標為（ ， ）．

綜上所述，PO的長為1，點P的坐標為（， ）或（ ， ）．

（2）對于⊙C的任意一個“完美點”P都有|PA﹣PB|=2，

∴|CP+2（2CP）|=2．∴CP=1．

∴對于任意的點P，滿足CP=1，都有|CP+2（2CP）|=2，

∴|PA﹣PB|=2，故此時點P為⊙C的“完美點”．因此，⊙C的“完美點”是以點C為圓心，1為半徑的圓．

設直線與y軸交于點D，當⊙C移動到與y軸相切且切點在點D的下方時，t的值最小．

設切點為E，連接CE，∵⊙C的圓心在直線y=x+1上，∴此直線和x軸，y軸的交點C（0，1），F（﹣，0），∴OF=，OD=1，∵CE∥OF，∴△DOF∽△DEC，∴，∴，∴DE=．t的最小值為1 ．當⊙C移動到與y軸相切且切點在點D的上方時，t的值最大．

同理可得t的最大值為1+．綜上所述，t的取值范圍為1 ≤t≤1+