Question

（2008•徐匯區一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=

4

5

．點P、Q分別是AC、BA邊上的動點，且AP=BQ=x．
（1）若△APQ的面積是y，試求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當△APQ為等腰三角形時，求x的值；
（3）如果點R是AC邊上的動點，且CR=AP=BQ=x，那么是否存在這樣的x，使得∠PQR=90°？若存在，求x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點Q作QM⊥AC于M，利用條件sinA=

3

5

，可得到QM和AQ的關系，根據三角形的面積公式可得y=

1

2

AP•QM=

1

2

x•

3

5

（10-x）=-

3

10

x²+3x，再根據已知條件求出自變量的取值范圍即可；
（2）本小題要分三種情況：①當AP=AQ時，②當AP=PQ時，③當AQ=PQ時分別討論求出x的值即可；
（3）存在這樣的x，使得∠PQR=90°，過點P作PM⊥AB于M，過點R作RN⊥AB于N，當∠PQR=90°時，∠PQM+∠NQR=90°，再根據已知條件證明△PQM∽△QRN，由相似三角形的性質可得到

RN

QN

=

QM

PM

，因為RN=

4

5

AR=

4

5

（AC-CR）=

4

5

（6-x），PM=

3

5

AP=

3

5

x，QN=10-AQ-BN=

8

5

x-

18

5

，QM=AQ-AM=10-

9

5

x，所以可得到方程得6x²-49x+90=0，進而求出x的值．反之，當AP=BQ=CR=

49+ 241

12

時，過點P作PM⊥AB于M過點Q作RN⊥AB于N，由以上思路也可求出x的另外一個值．

解答：解：（1）過點Q作QM⊥AC于M，
在Rt△AMQ中，∠AMQ=90°，
∵sinA=

QM

AQ

=

3

5

，
∴QM=

3

5

AQ=

3

5

（10-x），
∴y=

1

2

AP•QM=

1

2

x•

3

5

（10-x）=-

3

10

x²+3x；
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵sinA=

BC

AC

，
∴BC=AB•sinA=10×

3

5

=6，
∴AC=

AB2-BC2

=

102-62

=8，
∴自變量x的取值范圍為：0＜x≤8；

（2）分三種情況：①當AP=AQ時，有x=10-x，
∴x=5；
②當AP=PQ時，過點P作PN⊥AB于N，
在Rt△ANP中，∠ANP=90°，
∴AN=APcosA，
∵sinA=

3

5

，
∴cosA=

4

5

，
∵AN=

1

2

AQ=

10-x

2

，
∴

10-x

2

=

4

5

x，
解得：x=

50

13

；
③當AQ=PQ時，過點Q作QS⊥AC于S，
在Rt△ASQ中，∠ASQ=90°，
∴AS=AQcosA，
即

x

2

=

4

5

(10-x)，
解得x=

80

13

；
綜合①、②、③，x=5或

50

13

或

80

13

．

（3）存在這樣的x，使得∠PQR=90°，
理由如下：
過點P作PM⊥AB于M，過點Q作RN⊥AB于N，
當∠PQR=90°時，∠PQM+∠NQR=90°，
∵∠RNQ=∠QMP=90°，
∴∠NQR+∠NRQ=90°，
∴∠NRQ=∠MQP，
∴△PQM∽△QRN，
∴

RN

QN

=

QM

PM

，
∵RN=

4

5

AR=

4

5

（AC-CR）=

4

5

（8-x），PM=

3

5

AP=

3

5

x，QN=10-AQ-BN=

8

5

x-

18

5

，QM=AQ-AM=10-

9

5

x，
∴

4 5 (8-x)

8 5 x- 18 5

=

10- 9 5 x

3 5 x

，
化簡，得6x²-49x+90=0解得x=

49± 241

12

；
反之，當AP=BQ=CR=

49+ 241

12

時，過點P作PM⊥AB于M過點Q作RN⊥AB于N
∵RN=

4

5

(8-x)=

23- 241

15

，QM=10-

9

5

x=

53-3 241

20

，QN=

8

5

x-

18

5

=

44+2 241

15

，PM=

3

5

x=

49+ 241

20

．
∴

RN

QM

=

31+ 241

30

，

QN

PM

=

31+ 241

30

∴

RN

QM

=

QN

PM

，
又∵∠RNQ=∠QMP=90°，
∴△RNQ∽△QMP，
∴∠QRN=∠MQP，又∠QNR+∠NQR=90°，
∴∠MQP+∠NQR=90°，
∴∠PQR=90°，
同理，當AP=BQ=CR=

49- 241

12

時，可證∠PQR=90°．
綜合以上，當x=

49± 241

12

時，∠PQR=90°．

點評：本題考查了銳角三角函數、三角形的面積公式、勾股定理的運用、相似三角形的判定和性質以及一元二次方程的計算和分類討論的數學數學，題目的綜合性很強，難度很大，對學生的綜合解題能力要求相當高．