Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=12cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度均為1cm/s．以AQ、PQ為邊作AQPD，連接DQ，交AB于點(diǎn)E．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）（0≤t≤6）．解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，AQPD為矩形．

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，AQPD為菱形．

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形AQPD的面積等于四邊形PQCB的面積，若存在，請(qǐng)求出t值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)t=時(shí)，AQPD是矩形；(2) 當(dāng)t=時(shí)，□AQPD是菱形；(3)

【解析】

（1）利用矩形的性質(zhì)得到△APQ∽△ABC，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列出比例式即可求得t值；

（2）利用菱形的對(duì)角線相互垂直平分解答；

（3）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC于M．先表示出△APQ的面積和S四邊形PQCB=S△ABC﹣S△APQ，進(jìn)而建立方程即可得出結(jié)論．

解：（1）如圖2，當(dāng)AQPD是矩形時(shí)，PQ⊥AC，

∴PQ∥BC，

∴△APQ∽△ABC

∴=，

由運(yùn)動(dòng)知，QA=t，BP=t，

∴AP=AB﹣BP=12﹣t，

即，=,

解之 t=，

∴當(dāng)t=時(shí)，AQPD是矩形；

（2）當(dāng)AQPD是菱形時(shí)，DQ⊥AP，AE=AP

則 cos∠BAC==，

由運(yùn)動(dòng)知，QA=t，BP=t，

∴AP=AB﹣BP=12﹣t，AE=6﹣t，

∴

解之 t=，

所以當(dāng)t=時(shí)，□AQPD是菱形；

（3）存在時(shí)間t，使四邊形AQPD的面積等于四邊形PQCB的面積．

在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得，BC=4，

如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC于M．

則=，

即=，

故PM=（12﹣t）．

∴S△APQ=AQ×PM=×t×（12﹣t），

∴S四邊形PQCB=S△ABC﹣S△APQ=×4×8﹣×t×（12﹣t），

∵四邊形AQPD的面積等于四邊形PQCB的面積，

∴2××t×（12﹣t）=×4×8﹣×t×（12﹣t），

∴t= （舍）或t=.