Question

如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點P在AB上從A向B運動，連接DP交AC于點Q，連接BQ．
（1）試證明：無論點P運動到AB上何處時，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）當△ADQ的面積與正方形ABCD面積之比為1：6時，求BQ的長度，并直接寫出此時點P在AB上的位置．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的四條邊都相等，對角線平分一組對角，可得AB=AD，∠DAQ=∠BAQ，而AQ是△ADQ和△ABQ的公共邊，所以兩三角形全等；
（2）根據面積之比為1：6，先求出△ADQ的面積為6，過點Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，即可求出AD邊上的高QE的長度為2，所以QF也等于2，再求出BF的長度為4，利用勾股定理即可求出BQ的長度，在△DAP中利用相似三角形對應邊成比例即可求出AP的長度為3，所以，點P在AB的中點位置．

解答：（1）證明：在△ADQ和△ABQ中，

AD=AB ∠DAQ=∠BAQ AQ=AQ

，
∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；

（2）解：∵△ADQ的面積與正方形ABCD面積之比為1：6，正方形面積為6²=36，
∴△ADQ的面積為6，
過點Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，
∵△ADQ≌△ABQ，
∴QE=QF，
∴

1

2

AD•QE=6，
∴QE=QF=2，
∵∠BAD=∠QEA=∠QFA=90°，
∴四邊形AEQF為正方形，
∴AF=QE=2，
∴BF=6-2=4，
在Rt△QBF中，
BQ=

QF2+BF2

=

22+42

=2

5

，
∵△DEQ∽△DAP，
∴

DE

AD

=

EQ

AP

，即

6-2

6

=

2

AP

，
∴AP=3，
∴P在AB的中點位置（或者回答此時AP=3）．

點評：本題綜合考查了正方形的邊與角平分線的性質，三角形全等的判定，勾股定理的運用以及平行線分線段成比例定理，對同學們能力要求較高．