Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為△ABC的中線，O為AB上一點，以O為圓心，AO為半徑的⊙O與AB交于點F，與BC交于點E．連接AE，AE平分∠BAD．

（1）求證：BC與⊙O相切于點E；

（2）若AB＝10，BC＝16，求⊙O的半徑；

（3）若AD與⊙O的交點為△ABC的重心，則的值為 ．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）r=；（3）．

【解析】分析：（1）利用OA=OE得出∠AEO=∠OAE，再由角平分線得出∠BAE=∠DAE，即得出OE∥AD即可；（2）先求出CD=8，再用勾股定理求出AD=6，進而用角平分線定理即可得出BE=5，最后用相似三角形的性質得出結論；（3）先用切割線定理得出DE，進而用勾股定理得出AE，∠BAE=30°，即可得出BE=AE，即可得出結論．

本題解析：

（1）如圖，連接OE．

∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA；

∵AD為中線，AB=AC，∴AD⊥BC，∴∠DAE+∠AED=90°；

∵AE平分∠BAD，∴∠OAE=∠EAD=∠OEA，∴∠OEA+∠AED=90°，即OE⊥BC，又∵點E在⊙O上，∴BC與⊙O切于點E．

（2）設⊙O半徑為r．

∵AB＝AC，AD為中線，且AB=10，BC=16，∴AD⊥BC，CD=8；

∴在Rt△ACD中，CD=8，∵OE⊥BC，AD⊥BC，∴OE∥AD，∴△BOE∽△BAD；∴ ，即， ．

解得r=．

（3）．