Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AD＝8，AB＝4，將此矩形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，連接BE、DF，以B為原點建立平面直角坐標系，使BC、BA邊分別在x軸和y軸的正半軸上．

（1）試判斷四邊形BFDE的形狀，并說明理由；

（2）求直線EF的解析式．

Answer 1

【答案】（1）四邊形BFDE是菱形，見解析；（2）y＝﹣2x+10．

【解析】

（1）根據矩形的性質及等腰三角形的特點即可求出四邊 相等，故可求解；

（2）設AE＝x，得BE＝DE＝8﹣x，利用在Rt△ABE中利用勾股定理求出x,得到E點和點F的坐標，再根據待定系數法確定函數關系式進行求解.

解：（1）四邊形BFDE是菱形，理由如下：

由題意可知：DE＝BE，DF＝BF，∠DEF＝∠BEF，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DEF＝∠BFE，

∴∠BEF＝∠BFE，

∴BE＝BF，

∴BE＝BF＝DF＝DE，

∴四邊形BFDE是菱形；

（2）設AE＝x，

∵AD＝8，AB＝4，

∴BE＝DE＝8﹣x，

在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，

∴AB2+AE2＝BE2，

∴42+x2＝（8﹣x）2，

解得：x＝3，

∴AE＝3，BF＝5，

∴E點的坐標是（3，4），點F的坐標是（5，0），

設直線EF的解析式為y＝kx+b，

可得方程組，

解這個方程組得，

∴直線EF的解析式是y＝﹣2x+10．