Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，E、M分別為AB、AC上的點，連接CE，BM交于點G，且BM⊥CE，O為AC的中點，連接BO交CE于點N．

（1）如圖①，若AB＝6，2MO＝AM，求BM的長；

（2）如圖②，連接OG、AG，若AG⊥OG，求證：AC＝BG．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）詳見解析.

【解析】

（1）由等腰三角形底邊中線是底邊的高可知OB⊥AC，根據(jù)等腰直角三角形可求出OB=OC=OA=3，根據(jù)2MO=AM即可求出OM的長，根據(jù)勾股定理求出BM的長即可.（2）過O作OF//AG交CG于F，則∠COF=∠OGA=90°，即可證明∠COF=∠GOB，由O是AC中點可知CF=FG，通過證明△COF≌△OBG即可證明CF=GF=BG，根據(jù)勾股定理可求出AC=BG.

（1）∵OB是Rt△ABC斜邊中線，

∴OB=OC=OA，

∵AB=BC=6，

∴OB⊥BC，AC==6，

∴OB=OA=3，

∵2MO=AM，

∴OM=，

∴BM==2，

（2）過點O作OF//AG交CG于F，

∵OF//AG，O為AC中點，AG⊥OG

∴CF=FG，∠FOG=∠AOG=90°，

∵∠COF+∠FOB=90°，∠GOB+∠FOB=90°，

∴∠COF=∠GOB，

∵∠OCF+∠CON=90°，∠OBG++∠BNG=90°，∠CON=∠BNG，

∴∠OCF=∠OBG，

在△OCF和△OBG中，

∴△OCF≌△OBG，

∴BG=CF=FG，

在Rt△CBG中，BC==BG，

在Rt△ABC中，AC=BC=BG.