Question

【題目】如圖是二次函數的圖象，其頂點坐標為M(1,-4).

（1）求出圖象與軸的交點A、B的坐標；

（2）在二次函數的圖象上是否存在點P，使,若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）在y軸上存在一點Q,使得△QMB周長最小，求出Q點坐標。

Answer 1

【答案】（1）A(-1，0)B（3，0）（2）P（0，-3），Q（2，-3），Q（ ，3），Q（，3）（3）Q（0，-3）.

【解析】試題分析：（1）把頂點坐標代入函數解析式，然后令y=0，解關于x的一元二次方程即可得到點A、B的坐標；

（2）設點P到AB的距離為h，利用三角形的面積列式求出h，再分點P在x軸下方和上方兩種情況把點P的縱坐標代入函數解析式求解即可；

（3）根據軸對稱確定最短路線問題，找出點M關于y軸的對稱點M′，連接BM′與y軸的交點即為所求的點Q，利用待定系數法求出直線BM′的函數解析式，再令x=0求解即可．

(1)∵頂點坐標為M(1,4)，

∴二次函數為y=(x1)24，

令y=0,則(x1)24=0，

解得x1=1,x2=3，

∴A(1,0),B(3,0)；

(2)設點P到AB的距離為h，

∵S△PAB=34S△MAB，

∴ABh=，

解得h=3，

當點P在x軸下方時，點P的縱坐標是3，

∴(x1)24=3，

解得x1=0,x2=2，

此時點P的坐標為(0,3)或(2,3)，

點P在x軸上方時,點P的縱坐標為3,

∴(x1)24=3，

解得x1=+1,x2=+1，

此時點P的坐標為(+1,3)或(+1,3)，

綜上所述,點P的坐標為(0,3),(2,3),( +1,3),( +1,3)；

(3)如圖,取點M(1,4)關于y軸的對稱點M′(1,4)，

連接BM′與y軸的交點即為使得△QMB周長最小的點Q，

設直線BM′的解析式為y=kx+b，

則 ，

解得，

∴BM′的解析式為y=x3，

令x=0，則y=3，

所以,點Q的坐標為P(0,3).