Question

【題目】如圖，過A（1，0）、B（3，0）作x軸的垂線，分別交直線y=﹣x+4于C、D兩點．拋物線y=ax2+bx+c經過O、C、D三點．

（1）求拋物線的表達式；

（2）點M為直線OD上的一個動點，過M作x軸的垂線交拋物線于點N，問是否存在這樣的點M，使得以A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時點M的橫坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若△AOC沿CD方向平移（點C在線段CD上，且不與點D重合），在平移的過程中△AOC與△OBD重疊部分的面積記為S，試求S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+x．（2）存在．點M的橫坐標為：或或．（3）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；

（2）由題意，可知MN∥AC，因為以A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，則有MN=AC=3．設點M的橫坐標為x，則求出MN=|x2-4x|；解方程|x2-4x|=3，求出x的值，即點M橫坐標的值；

（3）設水平方向的平移距離為t（0≤t＜3），利用平移性質求出S的表達式：S=-（t-1）2+；當t=1時，s有最大值為．

試題解析：（1）由題意，可得C（1，3），D（3，1）．

∵拋物線過原點，∴設拋物線的解析式為：y=ax2+bx．

∴，解得，

∴拋物線的表達式為：y=-x2+x．

（2）存在．

設直線OD解析式為y=kx，將D（3，1）代入，

求得k=，

∴直線OD解析式為y=x．

設點M的橫坐標為x，則M（x，x），N（x，-x2+x），

∴MN=|yM-yN|=|x-（-x2+x）|=|x2-4x|．

由題意，可知MN∥AC，因為以A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，則有MN=AC=3．

∴|x2-4x|=3．

若x2-4x=3，整理得：4x2-12x-9=0，

解得：x=或x=；

若x2-4x=-3，整理得：4x2-12x+9=0，

解得：x=．

∴存在滿足條件的點M，點M的橫坐標為：或或．

（3）∵C（1，3），D（3，1）

∴易得直線OC的解析式為y=3x，直線OD的解析式為y=x．

如解答圖所示，

設平移中的三角形為△A′O′C′，點C′在線段CD上．

設O′C′與x軸交于點E，與直線OD交于點P；

設A′C′與x軸交于點F，與直線OD交于點Q．

設水平方向的平移距離為t（0≤t＜3），

則圖中AF=t，F（1+t，0），Q（1+t，+t），C′（1+t，3-t）．

設直線O′C′的解析式為y=3x+b，

將C′（1+t，3-t）代入得：b=-4t，

∴直線O′C′的解析式為y=3x-4t．

∴E（t，0）．

聯立y=3x-4t與y=x，解得x=t，

∴P（t，t）．

過點P作PG⊥x軸于點G，則PG=t．

∴S=S△OFQ-S△OEP=OFFQ-OEPG

=（1+t）（+t）-tt

=-（t-1）2+

當t=1時，S有最大值為．

∴S的最大值為．