Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點D．點P從點D出發，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發，沿線段CA向點A運動，兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度，當點P運動到點C時，兩點都停止．設運動時間為t秒．

（1）求線段CD的長；

（2）當t取何值時PQ∥AB？

（3）是否存在某一時刻t，使得△PCQ為等腰三角形？若存在，求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4.8；（2）當t=3時，PQ∥AB；（3）當t為2.4秒或秒或秒時，△CPQ為等腰三角形．

【解析】

試題分析：（1）先根據勾股定理求出AB的長，再由三角形的面積公式即可得出結論；

（2）先用t表示出DP，CQ，CP的長，再根據PQ∥AB，得到△QCP∽△ABC，根據相似三角形的性質列方程即可得到結論；

（3）根據題意畫出圖形，分CQ=CP，PQ=PC，QC=QP三種情況進行討論．

解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10．

∵CD⊥AB，

∴S△ABC=BCAC=ABCD．

∴CD===4.8．

∴線段CD的長為4.8．

（2）設DP=t，CQ=t．則CP=4.8﹣t．

∵PQ∥AB，

∵△QCP∽△ABC

∴，即，

∴t=3，

當t=3時，PQ∥AB；

（3）①若CQ=CP，如圖1，

則t=4.8﹣t．

解得：t=2.4．

②若PQ=PC，如圖2所示．

∵PQ=PC，PH⊥QC，

∴QH=CH=QC=．

∵△CHP∽△BCA．

∴，

∴=，解得t=；

③若QC=QP，

過點Q作QE⊥CP，垂足為E，如圖3所示．

同理可得：t=．

綜上所述：當t為2.4秒或秒或秒時，△CPQ為等腰三角形．