Question

【題目】Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝7，點P是邊AC上不與點A、C重合的一點，作PD∥BC交AB邊于點D．

（1）如圖1，將△APD沿直線AB翻折，得到△AP'D，作AE∥PD．求證：AE＝ED；

（2）將△APD繞點A順時針旋轉，得到△AP'D'，點P、D的對應點分別為點P'、D'，

①如圖2，當點D'在△ABC內部時，連接P′C和D'B，求證：△AP'C∽△AD'B；

②如果AP：PC＝5：1，連接DD'，且DD'＝AD，那么請直接寫出點D'到直線BC的距離．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）①見解析；②點D'到直線BC的距離為或

【解析】

（1）由折疊的性質和平行線的性質可得∠EAD＝∠ADP＝∠ADP'，即可得AE＝DE；

（2）①由題意可證△APD∽△ACB，可得，由旋轉的性質可得AP＝AP'，AD＝AD'，∠PAD＝∠P'AD'，即∠P'AC＝∠D'AB，，則△AP'C∽△AD'B；②分點D'在直線BC的下方和點D'在直線BC的上方兩種情況討論，根據平行線分線段成比例，可求PD＝，通過證明△AMD'≌△DPA，可得AM＝PD＝，即可求點D'到直線BC的距離．

證明：（1）∵將△APD沿直線AB翻折，得到△AP'D，

∴∠ADP'＝∠ADP，

∵AE∥PD，

∴∠EAD＝∠ADP，

∴∠EAD＝∠ADP'，

∴AE＝DE

（2）①∵DP∥BC，

∴△APD∽△ACB，

∴ ，

∵旋轉，

∴AP＝AP'，AD＝AD'，∠PAD＝∠P'AD'，

∴∠P'AC＝∠D'AB，，

∴△AP'C∽△AD'B

②若點D'在直線BC下方，如圖，過點A作AF⊥DD'，過點D'作D'M⊥AC，交AC的延長線于M，

∵AP：PC＝5：1，

∴AP：AC＝5：6，

∵PD∥BC，

∴=，

∵BC＝7，

∴PD＝，

∵旋轉，

∴AD＝AD'，且AF⊥DD'，

∴DF＝D'F＝D'D，∠ADF＝∠AD'F，

∵cos∠ADF＝＝ = ，

∴∠ADF＝45°，

∴∠AD'F＝45°，

∴∠D'AD＝90°

∴∠D'AM+∠PAD＝90°，

∵D'M⊥AM，

∴∠D'AM+∠AD'M＝90°，

∴∠PAD＝∠AD'M，且AD'＝AD，∠AMD'＝∠APD，

∴△AD'M≌△DAP（AAS）

∴PD＝AM＝，

∵CM＝AM﹣AC＝﹣3，

∴CM＝，

∴點D'到直線BC的距離為

若點D'在直線BC的上方，如圖，過點D'作D'M⊥AC，交CA的延長線于點M，

同理可證：△AMD'≌△DPA，

∴AM＝PD＝，

∵CM＝AC+AM，

∴CM＝3+＝，

∴點D'到直線BC的距離為

綜上所述：點D'到直線BC的距離為或；