Question

【題目】在等邊△ABC中，D是邊AC上一點，連接BD，將△BCD繞點B逆時針旋轉60°，得到△BAE，連接ED，若BC=5，BD=4，則以下四個結論中： ①△BDE是等邊三角形； ②AE∥BC； ③△ADE的周長是9； ④∠ADE=∠BDC．其中正確的序號是（　　）

A.②③④B.①②④C.①②③D.①③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

先由△BCD繞點B逆時針旋轉60°，得到△BAE得到BD=BE，∠DBE=60°，則可判斷△BDE是等邊三角形；根據等邊三角形的性質得BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根據旋轉的性質得到∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，所以∠BAE=∠ABC=60°，則根據平行線的判定方法即可得到AE∥BC；根據等邊三角形的性質得∠BDE=60°，而∠BDC＞60°，則可判斷∠ADE≠∠BDC；由△BDE是等邊三角形得到DE=BD=4，再利用△BCD繞點B逆時針旋轉60°，得到△BAE，則AE=CD，所以△AED的周長=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD．

解：∵△BCD繞點B逆時針旋轉60°，得到△BAE，
∴BD=BE，∠DBE=60°，
∴△BDE是等邊三角形，所以①正確；
∵△ABC為等邊三角形，
∴BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，
∵△BCD繞點B逆時針旋轉60°，得到△BAE，
∴∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，
∴∠BAE=∠ABC，
∴AE∥BC，所以②正確；
∴∠BDE=60°，
∵∠BDC=∠BAC+∠ABD＞60°，
∴∠ADE≠∠BDC，所以④錯誤；
∵△BDE是等邊三角形，
∴DE=BD=4，
而△BCD繞點B逆時針旋轉60°，得到△BAE，
∴AE=CD，
∴△AED的周長=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+4=5+4=9，所以③正確．
故選D．