Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中,直線y= x＋8分別交x軸，y軸于A，B兩點，點C為OB的中點，點D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形．動點P為CD上一點，PH⊥OA，垂足為H，點Q是點B關于點A的對稱點，當BP＋PH＋HQ值最小時，點P的坐標為_____________________

Answer 1

【答案】(-4,4)

【解析】試題解析：連接PB，CH，HQ，則四邊形PHCB是平行四邊形，如圖，

∵四邊形PHCB是平行四邊形，

∴PB=CH，

∴BP+PH+HQ=CH+HQ+2，

∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+4有最小值，

∴只需CH+HQ最小即可，

∵兩點之間線段最短，

∴當點C，H，Q在同一直線上時，CH+HQ的值最小，

過點Q作QM⊥y軸，垂足為M，

∵點Q是點B關于點A的對稱點，

∴OA是△BQM的中位線，

∴QM=2OA=12，OM=OB=8，

∴Q（-12，-8），

設直線CQ的關系式為：y=kx+b，

將C（0，4）和Q（-12，-8）分別代入上式得：

，

解得： ，

∴直線CQ的關系式為：y=x+4，

令y=0得：x=-4，

∴H（-4，0），

∵PH∥y軸，

∴P（-4，4）．