Question

【題目】若雙曲線y=kx-1與直線y=-2x+10在2≤x≤4時有且只有一個公共點，則對k的取值要求是______．

Answer 1

【答案】8≤k＜12或k=12.5．

【解析】

由直線y=-2x+10在2≤x≤4時，是第一象限內的一條線段，先通過解方程組，確定直線y=-2x+10與當雙曲線y=kx-1有且只一個交點時，此交點是否在線段y=-2x+10（2≤x≤4）上，并求出其k值，再解決直線與雙曲線有兩個交點中只有其中一個交點在線段y=-2x+10（2≤x≤4）上時，k的取值情況便可．

解：若直線y=-2x+10與雙曲線y=kx-1有且只有一個交點，則

方程組有且只有一個解，

也即，即2x2-10x+k=0有且只有一個實數根，

∴△=100-8k=0，

解得，k=12.5，

∴當k=12.5時，雙曲線y=kx-1與直線y=-2x+10相切，只有一個公共點，

當k＞12.5時，雙曲線y=kx-1與直線y=-2x+10相離，沒有公共點，

當k＜12.5時，雙曲線y=kx-1與直線y=-2x+10相交，有兩個公共點，

∴當k=12.5時，方程2x2-10x+k=0為2x2-10x+12．5=0，

解得，x1=x2=，

∴交點坐標為（，5），

∵此交點（，5）在線段y=-2x+10（2≤x≤4）上，

∴當k=12.5時，雙曲線y=kx-1與直線y=-2x+10在2≤x≤4時有且只有一個公共點；

∵當k＜12.5時，雙曲線y=kx-1與直線y=-2x+10有兩個交點，

∵當雙曲線y=kx-1過點（4，2）時，k=8＜12.5，

由得，，，

此時直線y=-2x+10與y=有兩個交點為（1，8），（4，2），

∵（1，8）不在線段y=-2x+4（2≤x≤4）上，

∴k=8時，雙曲線y=kx-1與直線y=-2x+10在2≤x≤4時有且只有一個公共點；

當雙曲線y=kx-1過點（2，6）時，k=2×6=12＜12.5．

由，得，，

此時直線y=-2x+10與y=有兩個交點為（2，6），（3，4），

∵（2，6），（3，4）在線段y=-2x+4（2≤x≤4）上，

∴k=12時，雙曲線y=kx-1與直線y=-2x+10在2≤x≤4時有兩個公共點，

∴雙曲線y=kx-1與直線y=-2x+10在2≤x≤4時有且只有一個公共點，必有k＜12，

綜上可知，雙曲線y=kx-1與直線y=-2x+10在2≤x≤4時有且只有一個公共點的k的取值要求是：8≤k＜12或k=12.5．

故答案為：8≤k＜12或k=12.5．