Question

【題目】如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，

(1)圖①中，已知AF⊥BC , ∠B=500，∠C=600. 求∠DAF的度數.

（2）圖②中，請你在直線AD上任意取一點E（不與點A、D重合），畫EF⊥BC，垂足為F.已知∠B=α，∠C=β（β＞a）.求∠DEF的度數. （用α、β的代數式表示）

Answer 1

【答案】（1）∠DAF=5°（2）∠DEF=（β-α）

【解析】試題分析：根據三角形的內角和定理可求得∠BAC的度數，又因AD平分∠BAC，根據角平分線的定義可求得∠CAD的度數，再由垂直的定義可得∠AFC的度數，根據直角三角形的兩銳角互余即可求得∠DAF的度數；（2）如圖2，根據三角形的內角和定理可求得∠BAC的度數，又因AD平分∠BAC，根據角平分線的定義可求得∠CAD的度數，再由三角形的內角和定理求得∠ADC的度數，再由垂直的定義可得∠EFD的度數，根據直角三角形的兩銳角互余即可求得∠DEF的度數；如圖3，類比圖2的方法解決問題即可.

試題解析：

(1)∵∠B=500，∠C=600，

∴∠BAC=180°－∠B-∠C=180°-500-600 =70°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD = ∠BAC =×70°=35°，

又∵AF⊥BC ，

∴∠AFC =90°，

∴∠CAF =90° －∠C =30°，

∴ ∠DAF =∠CAD -∠CAF =5°.

(2)① 如圖，

圖2

∵∠B=α，∠C=β，

∴∠BAC=180°－∠B-∠C=180°-(α+β)，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD = ∠BAC = [180°-(α+β)]=90°- (α+β)，

∴∠ADC=180°-∠CAD-∠C=180°-[90°- (α+β)]- β=90°+α-β

又∵EF⊥BC ，

∴∠EFD=90°，

∴∠DEF =90° －∠ADC =90°-[90°+α-β]= （β-α）.

②如圖，

圖3

∵∠B=α，∠C=β，

∴∠BAC=180°－∠B-∠C=180°-(α+β)，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD = ∠BAC = [180°-(α+β)]=90°- (α+β)，

∴∠ADC=180°-∠CAD-∠C=180°-[90°- (α+β)]- β=90°+α-β

∴∠ADC=∠EDF=90°+α-β，

又∵EF⊥BC ，

∴∠EFD=90°，

∴∠DEF =90° －∠EDF =90°-[90°+α-β]= （β-α）.