Question

【題目】已知：在△ABC中，以AC邊為直徑的⊙O交BC于點D，在劣弧 上取一點E使∠EBC=∠DEC，延長BE依次交AC于點G，交⊙O于H．
（1）求證：AC⊥BH；
（2）若∠ABC=45°，⊙O的直徑等于10，BD=8，求CE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AD，

∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，

∴∠DAC=∠EBC，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

∴∠DCA+∠DAC=90°，

∴∠EBC+∠DCA=90°，

∴∠BGC=180°﹣（∠EBC+∠DCA）=180°﹣90°=90°，

∴AC⊥BH

（2）解：∵∠BDA=180°﹣∠ADC=90°，∠ABC=45°，

∴∠BAD=45°，

∴BD=AD，

∵BD=8，∴AD=8，

在直角三角形ADC中，AD=8，AC=10，

根據勾股定理得：DC=6，則BC=BD+DC=14，

∵∠EBC=∠DEC，∠BCE=∠ECD，

∴△BCE∽△ECD，

∴ ，即CE2=BCCD=14×6=84，

∴CE= =2 ．

【解析】（1）連接AD，由圓周角定理即可得出∠DAC=∠DEC，∠ADC=90°，再根據直角三角形的性質即可得出結論；（2）由∠BDA=180°﹣∠ADC=90°，∠ABC=45°可求出∠BAD=45°，利用勾股定理即可得出DC的長，進而求出BC的長，由已知的一對角線段和公共角，根據兩對對應角相等的兩三角形相似可得三角形BCE與三角形EDC相似，由相似得比例即可求出CE的長．
【考點精析】利用勾股定理的概念和圓周角定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．