Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0），B（0，﹣ ），C（2，0），其對稱軸與x軸交于點D

（1）求二次函數的表達式及其頂點坐標；
（2）若P為y軸上的一個動點，連接PD，則 PB+PD的最小值為；
（3）M（x，t）為拋物線對稱軸上一動點
①若平面內存在點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點N共有 個；
②連接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意 解得 ，

∴拋物線解析式為y= x2﹣ x﹣ ，

∵y= x2﹣ x﹣ = （x﹣ ）2﹣ ，

∴頂點坐標（ ，﹣ ）

（2）
（3）

① 5

②解：如圖，RT△AOB中，∵tan∠ABO= = ，

∴∠ABO=30°，

作AB的中垂線與y軸交于點E，連接EA，則∠AEB=120°，

以E為圓心，EB為半徑作圓，與拋物線對稱軸交于點F、G．

則∠AFB=∠AGB=60°，從而線段FG上的點滿足題意，

∵EB= = ，

∴OE=OB﹣EB= ，

∵F（ ，t），EF2=EB2，

∴（ ）2+（t+ ）2=（ ）2，

解得t= 或 ，

故F（ ， ），G（ ， ），

∴t的取值范圍 ≤t≤

【解析】【解析】解：（2）如圖1中，連接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，
此時 PB+PD最小．
理由：∵OA=1，OB= ，
∴tan∠ABO= = ，
∴∠ABO=30°，
∴PH= PB，
∴ PB+OD=PH+PD=DH，
∴此時 PB+PD最短（垂線段最短）．
在RT△ADH中，∵∠AHD=90°，AD= ，∠HAD=60°，
∴sin60°= ，
∴DH= ，
∴ PB+PD的最小值為 ．
所以答案是 ．
（3）①以A為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，
以B為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸也有兩個交點，
線段AB的垂直平分線與對稱軸有一個交點，
所以滿足條件的點M有5個，即滿足條件的點N也有5個，
所以答案是5．
（1）利用待定系數法轉化為解方程組解決問題．（2）如圖1中，連接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此時 PB+PD最小．最小值就是線段DH，求出DH即可．（3）①先在對稱軸上尋找滿足△ABM是等腰三角形的點M，由此即可解決問題．②作AB的中垂線與y軸交于點E，連接EA，則∠AEB=120°，以E為圓心，EB為半徑作圓，與拋物線對稱軸交于點F、G．則∠AFB=∠AGB=60°，從而線段FG上的點滿足題意，求出F、G的坐標即可解決問題．本題考查二次函數綜合題、銳角三角函數、最短問題、圓等知識，解題的關鍵是掌握待定系數法確定函數解析式，學會利用垂線段最短解決實際問題中的最短問題，學會添加輔助線，構造圓解決角度問題，屬于中考壓軸題．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用垂線段最短和銳角三角函數的增減性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短；現實生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質的應用；當角度在0°~90°之間變化時：（1）正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）（2）余弦值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）（3）正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）（4）余切值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）．