Question

【題目】如果一個三角形的兩條邊的和是第三邊的兩倍，則稱這個三角形是“優三角形”，這兩條邊的比稱為“優比”（若這兩邊不等，則優比為較大邊與較小邊的比），記為.

（1）命題：“等邊三角形為優三角形，其優比為1”，是真命題還是假命題？

（2）已知為優三角形，，，，

①如圖1，若，，，求的值.

②如圖2，若，求優比的取值范圍.

（3）已知是優三角形，且，，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）該命題是真命題，理由見解析；（2）①a的值為；②k的取值范圍為；（3）的面積為或．

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質、優三角形和優比的定義即可判斷；

（2）①先利用勾股定理求出c的值，再根據優三角形的定義列出的等式，然后求解即可；

②類似①分三種情況分析，再根據三角形的三邊關系定理得出每種情況下之間的關系，然后根據優比的定義求解即可；

（3）如圖（見解析），設，先利用直角三角形的性質、勾股定理求出AC、AB的長及面積的表達式，再類似（2），根據優三角形的定義分三種情況分別列出等式，然后解出x的值，即可得出的面積．

（1）該命題是真命題，理由如下：

設等邊三角形的三邊邊長為a

則其中兩條邊的和為2a，恰好是第三邊a的2倍，滿足優三角形的定義，即等邊三角形為優三角形

又因該兩條邊相等，則這兩條邊的比為1，即其優比為1

故該命題是真命題；

（2）①

根據優三角形的定義，分以下三種情況：

當時，，整理得，此方程沒有實數根

當時，，解得

當時，，解得，不符題意，舍去

綜上，a的值為；

②由題意得：均為正數

根據優三角形的定義，分以下三種情況：（）

當時，則

由三角形的三邊關系定理得

則，解得，即

故此時k的取值范圍為

當時，則

由三角形的三邊關系定理得

則，解得，即

故此時k的取值范圍為

當時，則

由三角形的三邊關系定理得

則，解得，即

故此時k的取值范圍為

綜上，k的取值范圍為；

（3）如圖，過點A作，則

設

是優三角形，分以下三種情況：

當時，即，解得

則

當時，即，解得

則

當時，即，整理得，此方程沒有實數根

綜上，的面積為或．