Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AC上，DE⊥AB于點E，且CD＝DE．點F在BC上，連接EF，AF，若∠CEF＝45°，∠B＝2∠CAF，BF＝2，則AB的長為_____．

Answer 1

【答案】10

【解析】

以AC為軸將△ACF翻至△ACK，在AB邊上截取BL＝BF＝2，設CF＝x，則EL＝CK＝x，分別用含x的式子表示出Rt△ABC中的三邊長，根據勾股定理列方程，解得x值，則可得答案．

解：如圖，以AC為軸將△ACF翻至△ACK，在AB邊上截取BL＝BF＝2

∵∠ACB＝90°，DE⊥AB

∴∠BCE+∠DCE＝90°，∠BEC+∠DEC＝90°

∵CD＝DE

∴∠DCE＝∠DEC

∴∠BCE＝∠BEC

∴BC＝BE

∵BF=BL=2

∴EL=CF

設CF＝x，則EL＝CK＝x

∴BK＝2x+2，BC＝BE＝x+2

設∠B＝2∠CAF＝2α

則∠CAK＝α，∠K＝90°﹣α

∴∠KAB＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α

∴∠K＝∠KAB

∴BA＝BK＝2x+2

在△CBL和△EBF中

∴△CBL≌△EBF（SAS）

∴∠BCL＝∠BEF

又∵∠CEF＝45°，∠BCE＝∠BEC

∴∠ECL＝∠CEF＝45°

∴∠ALC＝180°﹣45°﹣45°﹣∠BEF＝90°﹣∠BEF

∵∠ACL＝90°﹣∠BCL，∠BCL＝∠BEF

∴∠ALC＝∠ACL

∴AC＝AL＝2x

在Rt△ABC中，由勾股定理得：

（x+2）2+（2x）2＝（2x+2）2

解得x＝4或x＝0（舍）

∴AB＝10

故答案為：10．