Question

【題目】如圖，在△ABC中，點P是BC上一點，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別為點R、S，PR=PS，點Q是AC上一點，且AQ=PQ，

（1）求證：QP∥AR；

（2）AR、AS相等嗎？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）相等，理由見解析.

【解析】

（1）易證RT△APR≌RT△APS，可得∠BAP=∠1，再根據AQ=PQ，可得∠1=∠2，即可求得QP∥AR;

(2) 根據HL證明Rt△APR≌Rt△APS，即可推出AS=AR.

解：(1)如圖，

在RT△APR和RT△APS中，

，

∴RT△APR≌RT△APS（HL），

∴∠BAP=∠1，

∵AQ=PQ，

∴∠1=∠2，

∴∠BAP=∠2，

∴QP∥AR.

(2)AR=AS,理由如下:

∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，

∴∠ARP=∠ASP=90°，

在Rt△APR和Rt△APS中，

，

∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），

∴AS=AR.