Question

【題目】如圖，已知∠PBC，在射線BC上任取一點D，以線段BD的中點O為圓心作⊙O，且⊙O與PB相切于點E．

(1)求作：射線BP上一點A，使△ABD為等腰三角形，且AB=AD．（要求：運用直尺和圓規，保留作圖痕跡，不寫作法）

(2)求證：AD是⊙O的切線．

(3)若BD的長為8cm，∠PBC=30°，求陰影部分的面積

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）-．

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質，利用尺規作圖作出圖象即可；

（2）過點O作OF⊥AD，垂足為F，連接OE，根據△ABD為等腰三角形，點O是底邊BD的中點，可得出AO是∠BAD的角平分線，可得OE=OF，即可得證；

（3）根據已知條件可推出∠EOB=60°，BE==，再根據S陰影=S△BOE-S扇形EOM即可得解．

（1）作圖如下，

（2）證明：如圖，過點O作OF⊥AD，垂足為F，連接OE，

∵⊙O與PB相切于點E，

∴OE⊥AB，

∵△ABD為等腰三角形，點O是底邊BD的中點，

∴AO是∠BAD的角平分線，

∴OE=OF，即OF是⊙O的半徑，

∴AC與⊙O相切；

（3）解：由（2）知，∠BEO=90°，

∵∠PBC=30°，

∴∠EOB=60°，

∵BD的長為8cm且點O是底邊BD的中點，

∴OB=OD=BD=×8=4cm，

∴OE=OB=2cm，

在Rt△BOE中，根據勾股定理得BE==，

∴S陰影=S△BOE-S扇形EOM=××2-=-．