Question

（2013•赤峰）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點D從點C出發沿CA方向以4cm/秒的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以2cm/秒的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（0＜t≤15）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE，EF．
（1）求證：AE=DF；
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值，如果不能，說明理由；
（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用t表示出CD以及AE的長，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性質求得DF的長，即可證明；
（2）易證四邊形AEFD是平行四邊形，當AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，據此即可列方程求得t的值；
（3）分兩種情況討論即可求解．

解答：（1）證明：∵直角△ABC中，∠C=90°-∠A=30°．
∴AB=

1

2

AC=

1

2

×60=30cm．
∵CD=4t，AE=2t，
又∵在直角△CDF中，∠C=30°，
∴DF=

1

2

CD=2t，
∴DF=AE；

解：（2）∵DF∥AB，DF=AE，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
當AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，
即60-4t=2t，
解得：t=10，
即當t=10時，AEFD是菱形；

（3）當∠EDF=90°時，DE∥BC．
∴t=

15

2

時，∠EDF=90°．
當∠DEF=90°時，DE⊥EF，
∵四邊形AEFD是平行四邊形，
∴AD∥EF，
∴DE⊥AD，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠DEA=30°，
∴AD=

1

2

AE，
AD=AC-CD=60-4t，AE=DF=

1

2

CD=2t，
∴60-4t=t，
解得t=12．
綜上所述，當t=

15

2

時△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；當t=12時，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．

點評：本題考查了直角三角形的性質，菱形的判定與性質，正確利用t表示DF、AD的長是關鍵．