Question

【題目】如圖，已知點A是第一象限內橫坐標為的一個定點，AC⊥x軸于點M，交直線y=﹣x于點N．若點P是線段ON上的一個動點，∠APB=30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動．求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是______．

Answer 1

【答案】

【解析】由題意可知，OM= ，點N在直線y=﹣x上，AC⊥x軸于點M，則△OMN為等腰直角三角形，ON=OM=×= ．

如答圖①所示，設動點P在O點（起點）時，點B的位置為B0，動點P在N點（起點）時，點B的位置為Bn，連接B0Bn．

∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，

∴∠OAC=∠B0ABn，

又∵AB0=AOtan30°，ABn=ANtan30°，∴AB0：AO=ABn：AN=tan30°，

∴△AB0Bn∽△AON，且相似比為tan30°，

∴B0Bn=ONtan30°== ．

現在來證明線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）．

如答圖②所示，當點P運動至ON上的任一點時，設其對應的點B為Bi，連接AP，ABi，B0Bi．

∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，∴∠OAP=∠B0ABi，

又∵AB0=AOtan30°，ABi=APtan30°，∴AB0：AO=ABi：AP，

∴△AB0Bi∽△AOP，∴∠AB0Bi=∠AOP．

又∵△AB0Bn∽△AON，∴∠AB0Bn=∠AOP，

∴∠AB0Bi=∠AB0Bn，

∴點Bi在線段B0Bn上，即線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）．

綜上所述，點B運動的路徑（或軌跡）是線段B0Bn，其長度為．

故答案為： ．